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湖北軍隊文職(崗位能力)數學運算之容斥問題解題技法

2019-06-19 15:19:24| 湖北中公教育

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容斥是一種計數方法,它是能夠避免重復和遺漏計數的一種方法。而解決容斥問題我們常借助的一種工具叫做文氏圖(如下圖1),方法是全集I等于每一部分的面積加和。

軍轉干考試行測

圖1:全集I=四個部分面積的加和

那么接下來我們一起學習一下如何用文氏圖解容斥問題。

一、兩者容斥問題

例:幼兒園有100個小朋友,有50個小朋友穿的是粉上衣,有60個小朋友穿的藍褲子,又有20個小朋友即沒有穿粉上衣也沒有穿藍褲子。那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿藍褲子?

解析:我們來畫文氏圖

軍轉干考試行測

如果我們用50+60,那么我們會發現,途中空白部分就被加了兩次,所以要減去一次而這一部分正是我們要求的既穿粉上衣又穿藍褲子的小朋友數量,所 以我們設這一部分為x,然后再加上外面的20就等于全集100,所以我們列式100=50+60-x+20,解得x=30即為所求。

二、三者容斥問題

例:幼兒園有100個小朋友,有50個小朋友穿的是粉上衣,有60個小朋友穿的藍褲子,40個穿紅皮鞋,有30個既穿粉上衣又穿藍褲子,有30個小 朋友既穿藍褲子又穿紅皮鞋,有30個小朋友既穿粉上衣又穿紅皮鞋,又有20個小朋友什么都沒穿。那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿藍褲子又穿紅皮鞋?

解析:我們同樣先畫文氏圖。

軍轉干考試行測

我們用50+60+40,那么中間1、2、3這三個部分被加了兩次,4這部分被加了3次,所以我們要把這4部分變為1層。 50+60+40-30-30-30,此時中間4這 部分的3層全部被減沒了,那么我們就需要補回一層,而這一部分正好是我們要求的部分,所以設為 x,50+60+40-30-30-30+x此時計算的是三個圓的覆蓋面積,再加上外面的20 就等于全集100,所以列式為 100=50+60+40-30-30-30+x+20,解得x=20即為所求。

同學們理解的怎么樣?還是相對比較容易的吧!那我們就趁熱打鐵,一起來做一道題鞏固一下吧。

例題:如圖所示,每個圓紙片的面積都是36,圓紙片A與B,B與C,C與A的重疊部分面積分別為7、6、9,三個圓紙片覆蓋的總面積為88,則途中陰影部分的面積為( )。

A、66 B、68 C、70 D、72

軍轉干考試行測

解析:C。這道題中我們最重要的就是理解題中給出的幾個數據分別代表的是哪幾個部分。首先每個圓紙片的面積都是36,即圖中圓A、B、C都是36, 圓紙片A與B的重疊部分即1+4兩部分為7,同理得知B與C,C與A的重疊部分面積,三個圓的覆蓋面積88即該圖形的外圍面積也就是全集為88,所以我們 要求陰影部分的面積關鍵是求圖中4這一部分的面積。設4這部分面積為x,根據題意列式為36+36+36-7-6-9+x=88,解得x=2,所以1、 2、3、4四部分的面積和為7+6+9-2×2=18,所以陰影部分面積=88-18=70

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(責任編輯:秦晚意)

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